初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷？(A) m + n = 10 (B) m + n = 5 (C) m = n = 10 (D) m = 2，n = 3 3．我省規(guī)定：每年11月的最后一個(gè)星期日舉行初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，那么，初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷？一起來了解一下吧。
中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)
“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案
一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）
1．已知非零實(shí)數(shù)a，b 滿足，則 等于（）．
（A）－1（B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由題設(shè)知a≥3，所以，題設(shè)的等式為 ，于是 ，從而 ＝1．
2．如正扮圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)O是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，則a等于（）．
（A）（B）（C）1（D）2
【答】A．
解：因?yàn)椤鰾OC ∽ △ABC，所以 ，即
，
所以，．
由 ，解得 ．
3．將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先
后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為 ，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為 ，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為（ ）．
（A） （B）（C）（D）
【答】D．
解：當(dāng) 時(shí)，方程組無解．
當(dāng) 時(shí)，方程組的解為
由已知，得 即 或
由 ， 的實(shí)際意義為1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10種情況；或 共3種情況．
又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6×6＝36種情況，故所求的概率為 ．
4．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， .動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)
B出發(fā)，沿梯形的邊由B→C→D→A運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y. 把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（ ）．
（A）10（B）16（C）18 （D）32
【答】B．
解：根據(jù)圖像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，進(jìn)而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．關(guān)于x，y的方程 的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（）．
（A）2組（B）3組（C）4組（D）無窮多組
【答】C．
解：可將原方程視為關(guān)于 的二次方程，將其變形為
．
由于該方程有整數(shù)根，則判別式 ≥ ，且是完全平方數(shù)．
由≥ ，
解得 ≤ ．于是
0 1 4 9 16
116 109 88 53 4
顯然，只有 時(shí)， 是完全平方數(shù)，符合要求．
當(dāng) 時(shí)，原方程為 ，此時(shí) ；
當(dāng)y＝－4時(shí)，原方程為 ，此時(shí) ．
所以，原方程的整數(shù)解為
二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）
6．一個(gè)自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎．如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛km ．
【答】3750．
解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km
磨損量碰掘?yàn)?,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為 .又設(shè)一對(duì)新輪胎交換位置前走了x km，交換位置后走了y km.分別以一個(gè)輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有
兩式相加，得 ，
則 ．
7．已知線段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，在線段AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使得BD＝AC；再以點(diǎn)D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點(diǎn)，連接FG交AB于舉吵灶點(diǎn)H，則 的值為．
解：如圖，延長(zhǎng)AD與⊙D交于點(diǎn)E，連接AF，EF ．
由題設(shè)知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以Rt△FHA∽R(shí)t△EFA，
.
而 ，所以.
8．已知 是滿足條件 的五個(gè)不同的整數(shù)，若 是關(guān)于x的方程 的整數(shù)根，則 的值為 ．
【答】 10．
解：因?yàn)?，且 是五個(gè)不同的整數(shù)，所有 也是五個(gè)不同的整數(shù)．
又因?yàn)?，所以
．
由 ，可得 ．
9．如圖，在△ABC中，CD是高，CE為 的平分線．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，則CE的長(zhǎng)等于．
【答】 ．
解：如圖，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB為直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足為F．設(shè)EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲．游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來．若報(bào)出來的數(shù)如圖所示，則報(bào)3的人心里想的數(shù)是．
【答】 ．
解：設(shè)報(bào)3的人心里想的數(shù)是 ，則報(bào)5的人心里想的數(shù)應(yīng)是 ．
于是報(bào)7的人心里想的數(shù)是，報(bào)9的人心里想的數(shù)是，報(bào)1的人心里想的數(shù)是，報(bào)3的人心里想的數(shù)是 ．所以
，
解得 ．
三、解答題（共4題，每題20分，共80分）
11．已知拋物線 與動(dòng)直線 有公共點(diǎn) ， ，
且 .
（1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：（1）聯(lián)立 與 ，消去y得二次方程
①
有實(shí)數(shù)根 ， ，則 ．所以
= ＝ ．②
………………5分
把②式代入方程①得
． ③
………………10分
t的取值應(yīng)滿足
≥0， ④
且使方程③有實(shí)數(shù)根，即
＝ ≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得≤ ≤ .
所以，t的取值范圍為
≤ ≤ . ⑥
………………15分
(2) 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 時(shí)是遞增的，所以，當(dāng)
時(shí), . ………………20分
12．已知正整數(shù) 滿足 ，且 ，求滿足條件的所有可能的正整數(shù) 的和．
解：由 可得 ． ，且
．
………………5分
因?yàn)?是奇數(shù)，所以 等價(jià)于 ，又因?yàn)?，所以 等價(jià)于 ．因此有 ，于是可得 ．
………………15分
又 ，所以 ．因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù) 的和為
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分
13．如圖，給定銳角三角形ABC， ，AD，BE是它的兩條高，過點(diǎn) 作△ABC的外接圓的切線 ，過點(diǎn)D，E分別作 的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論．
解法1：結(jié)論是 ．下面給出證明． ………………5分
因?yàn)?，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得．
………………10分
又因?yàn)?，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：結(jié)論是 ．下面給出證明．
……………… 5分
連接DE，因?yàn)?，所以A，B，D，E四點(diǎn)共圓，故
．………………10分
又l是⊙O的過點(diǎn)C的切線，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖F(xiàn)G，故DF＝EG．
………………20分
14．n個(gè)正整數(shù) 滿足如下條件： ；
且 中任意n－1個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)．求n的最大值．
解：設(shè) 中去掉 后剩下的n－1個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù) ， ．即．
于是，對(duì)于任意的1≤ ≤n，都有
，
從而 ．………………5分
由于是正整數(shù)，故
． ………………10分
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
結(jié)合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，則這9個(gè)數(shù)滿足題設(shè)要求．
綜上所述，n的最大值為9. ………………20分
抱歉，圖弄不上來，你可以去參考網(wǎng)址自己下
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“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案
一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）
1．已知非零實(shí)數(shù)a，b 滿足，則 等于（）．
（A）－1（B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由題設(shè)知a≥3，所以，題設(shè)的等式為 ，于是 ，從而 ＝1．
2．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)O是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，則a等于（）．
（A）（B）（C）1（D）2
【答】A．
解返塵：因?yàn)椤鰾OC ∽ △ABC，所以 ，即
，
所以，．
由 ，解得 ．
3．將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先
后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為 ，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為 ，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為（ ）．
（A） （B）（C）（D）
【答】D．
解：當(dāng) 時(shí)，方程組無解．
當(dāng) 時(shí)，方程組的解為
由已知，得 即 或
由 ， 的實(shí)際意義為1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10種情況；或 共3種情況．
又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6×6＝36種情況，故所求的概率為 ．
4．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， .動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)
B出發(fā)，沿梯形的邊由B→C→D→A運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y. 把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（ ）．
（A）10（B）16（C）18 （D）32
【答】B．
解：根據(jù)圖像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，進(jìn)而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．關(guān)于x，y的方程 的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（）．
（A）2組（B）3組（C）4組（D）無窮多組
【答纖祥】C．
解：可將原方程視為關(guān)于 的二次方程，將其變形為
．
由于該方程有整數(shù)根，則判別式 ≥ ，且是完全平方數(shù)．
由≥ ，
解得 ≤ ．于是
0 1 4 9 16
116 109 88 53 4
顯然，只有 時(shí)， 是完全平方數(shù)，符合要求．
當(dāng) 時(shí)，原方程為 ，此時(shí) ；
當(dāng)y＝－4時(shí)，原方程為 ，此時(shí) ．
所以，原方程的整數(shù)解為
二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）
6．一個(gè)自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎．如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛km ．
【答】3750．
解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km
磨損量為 ,安裝在后輪的輪毀世搏胎每行駛1km的磨損量為 .又設(shè)一對(duì)新輪胎交換位置前走了x km，交換位置后走了y km.分別以一個(gè)輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有
兩式相加，得 ，
則 ．
7．已知線段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，在線段AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使得BD＝AC；再以點(diǎn)D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H，則 的值為．
解：如圖，延長(zhǎng)AD與⊙D交于點(diǎn)E，連接AF，EF ．
由題設(shè)知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以Rt△FHA∽R(shí)t△EFA，
.
而 ，所以.
8．已知 是滿足條件 的五個(gè)不同的整數(shù)，若 是關(guān)于x的方程 的整數(shù)根，則 的值為 ．
【答】 10．
解：因?yàn)?，且 是五個(gè)不同的整數(shù)，所有 也是五個(gè)不同的整數(shù)．
又因?yàn)?，所以
．
由 ，可得 ．
9．如圖，在△ABC中，CD是高，CE為 的平分線．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，則CE的長(zhǎng)等于．
【答】 ．
解：如圖，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB為直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足為F．設(shè)EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲．游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來．若報(bào)出來的數(shù)如圖所示，則報(bào)3的人心里想的數(shù)是．
【答】 ．
解：設(shè)報(bào)3的人心里想的數(shù)是 ，則報(bào)5的人心里想的數(shù)應(yīng)是 ．
于是報(bào)7的人心里想的數(shù)是，報(bào)9的人心里想的數(shù)是，報(bào)1的人心里想的數(shù)是，報(bào)3的人心里想的數(shù)是 ．所以
，
解得 ．
三、解答題（共4題，每題20分，共80分）
11．已知拋物線 與動(dòng)直線 有公共點(diǎn) ， ，
且 .
（1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：（1）聯(lián)立 與 ，消去y得二次方程
①
有實(shí)數(shù)根 ， ，則 ．所以
= ＝ ．②
………………5分
把②式代入方程①得
． ③
………………10分
t的取值應(yīng)滿足
≥0， ④
且使方程③有實(shí)數(shù)根，即
＝ ≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得≤ ≤ .
所以，t的取值范圍為
≤ ≤ . ⑥
………………15分
(2) 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 時(shí)是遞增的，所以，當(dāng)
時(shí), . ………………20分
12．已知正整數(shù) 滿足 ，且 ，求滿足條件的所有可能的正整數(shù) 的和．
解：由 可得 ． ，且
．
………………5分
因?yàn)?是奇數(shù)，所以 等價(jià)于 ，又因?yàn)?，所以 等價(jià)于 ．因此有 ，于是可得 ．
………………15分
又 ，所以 ．因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù) 的和為
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分
13．如圖，給定銳角三角形ABC， ，AD，BE是它的兩條高，過點(diǎn) 作△ABC的外接圓的切線 ，過點(diǎn)D，E分別作 的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論．
解法1：結(jié)論是 ．下面給出證明． ………………5分
因?yàn)?，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得．
………………10分
又因?yàn)?，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：結(jié)論是 ．下面給出證明．
……………… 5分
連接DE，因?yàn)?，所以A，B，D，E四點(diǎn)共圓，故
．………………10分
又l是⊙O的過點(diǎn)C的切線，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖F(xiàn)G，故DF＝EG．
………………20分
14．n個(gè)正整數(shù) 滿足如下條件： ；
且 中任意n－1個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)．求n的最大值．
解：設(shè) 中去掉 后剩下的n－1個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù) ， ．即．
于是，對(duì)于任意的1≤ ≤n，都有
，
從而 ．………………5分
由于是正整數(shù)，故
． ………………10分
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
結(jié)合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，則這9個(gè)數(shù)滿足題設(shè)要求．
綜上所述，n的最大值為9. ………………20分
2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案
第一試
一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）
1. 設(shè) ，則 （A）
A.24.B. 25. C..D..
2．慧陪空在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝（C）
A. .B.. C..D..
3．用 表示不大于 的最大整數(shù)，則方程 的解的個(gè)數(shù)為（C）
A.1.B. 2. C. 3.D. 4.
4．設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，在以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè)，它們的面積相等的概率為 （B）
A. .B.. C..D..
5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內(nèi)亂橋作半圓，自點(diǎn)A作半圓的切線AE，則 CBE＝ （D）
A. .B.. C..D..
6．設(shè) 是大于1909的正整數(shù)，使得 為完全平方數(shù)的 的個(gè)數(shù)是 （B）
A.3.B. 4. C. 5.D. 6.
二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）
1．已知 是實(shí)數(shù)，若 是關(guān)于 的一元二次方程 的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則 的最小值是_____ _______.
2． 設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE//BC交AC于點(diǎn)E，作DF//AC交BC于點(diǎn)F，已知△ADE、△DBF的面積分別為 和 ，則四邊形DECF的前瞎面積為___ ___.
3．如果實(shí)數(shù) 滿足條件 ， ，則 __ ____.
4．已知 是正整數(shù)，且滿足 是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對(duì) 共有___7__對(duì).
第二試 （A）
一．（本題滿分20分）已知二次函數(shù) 的圖象與 軸的交點(diǎn)分別為A、B，與 軸的交點(diǎn)為C.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.
（1）證明：⊙P與 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn).
（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且 ，求 和 的值.
解（1）易求得點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，設(shè) ， ，則 ， .
設(shè)⊙P與 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，所以O(shè)A×OB＝OC×OD，則 .
因?yàn)?，所以點(diǎn) 在 軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在 軸的正半軸上，所以點(diǎn)D為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1).
（2）因?yàn)锳B⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
即 .
又 ，所以
，解得 .
二．（本題滿分25分）設(shè)CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高， 、 分別是△ADC、△BDC的內(nèi)心，AC＝3，BC＝4，求.
解作 E⊥AB于E， F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4， .
又CD⊥AB，由射影定理可得 ，故 ，
.
因?yàn)?E為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，所以 ＝ .
連接D 、D ，則D 、D 分別是∠ADC和∠BDC的平分線，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D ＝90°，所以 D⊥ D， .
同理，可求得 ， . 所以＝ .
三．（本題滿分25分）已知 為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：
①
②
證明：以 為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.
證法1將①②兩式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.
證法2結(jié)合①式，由②式可得 ，
變形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .
，
所以 或 或 .
結(jié)合①式可得 或 或 .
因此，以 為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.
第二試 （B）
一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.
二． （本題滿分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線 AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn).PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EF‖AB.
解因?yàn)锽N是∠ABC的平分線，所以 .
又因?yàn)镃H⊥AB，所以
，
因此 .
又F是QN的中點(diǎn)，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四點(diǎn)共圓.
又 ，所以FC＝FH，故點(diǎn)F在CH的中垂線上.
同理可證，點(diǎn)E在CH的中垂線上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF‖AB.
三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.
第二試 （C）
一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.
二．（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.
三．（本題滿分25分）已知 為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：
①
②
是否存在以 為三邊長(zhǎng)的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.
解法1將①②兩式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.
解法2結(jié)合①式，由②式可得 ，
變形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .
，
所以 或 或 .
結(jié)合①式可得 或 或 .
因此，以 為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.
2003年太原市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題
一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了英文代號(hào)的四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的. 請(qǐng)將正確結(jié)論的代號(hào)填入題后的括號(hào)里. 不填、多填或錯(cuò)填，得零分）
1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，則 的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
2．在本埠投寄平信，每封信質(zhì)量不超過20g時(shí)付郵費(fèi)0.80元，超過20g而不超過40g時(shí)付郵費(fèi)1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵費(fèi)0.80元（信的質(zhì)量在100g以內(nèi)）.如果所寄一封信的質(zhì)量為72.5g，那么應(yīng)付郵費(fèi) ( )
(A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元
3．如下圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°
4．四條線段的長(zhǎng)分別為9，5，x，1（其中x為正實(shí)數(shù)），用它們拼成兩個(gè)直角三角形，且AB與CD是其中的兩條線段（如上圖），則x可取值的個(gè)數(shù)為（ ）
(A)2個(gè) (B)3個(gè) (C)4個(gè) (D) 6個(gè)
5．某校初三兩個(gè)畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺(tái)階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊(duì)陣（排數(shù)≥3），且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的激歷空擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有( )
(A)1種 (B)2種 (C)4種 (D) 0種
二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）
6．已知 ，那么 .
7．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足 ， ， ，則xyz的值為 .
8．觀察下列圖形：
① ② ③ ④
根據(jù)圖①、②、③的規(guī)律，圖④中三角形的個(gè)數(shù)為 .
9．如圖所示，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照
在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45o，∠A=60o，
CD=4m，BC= m，則電線桿AB的長(zhǎng)為_______m.
10．已知二次函數(shù) （其中a是正整數(shù)）的圖象經(jīng) 過點(diǎn)A（－1，4）與點(diǎn)B（2，1），并且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則b+c的最大值為 .
三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）
11．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AC，與DE交于點(diǎn)P. 問EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論.
解：
12．某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）如圖所示. 若汽車行駛的平均速度為80千米/小時(shí)，而汽車每行駛1千米需要的平均費(fèi)用為1.2元. 試指出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線（要有推理過程），并求出所需費(fèi)用最少為多少元？
解橘斗：
13B．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)部時(shí)，求證： .
（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，第（1）小題中的等式是否存在？請(qǐng)說明理由.
（3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，第（1）小題中的等式明伍搜是否存在？請(qǐng)說明理由.
14B．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求 的最小值.
注：13B和14B相對(duì)于下面的13A和14A是較容易的題. 13B和14B與前面的12個(gè)題組成考試卷.后面兩頁 13A和14A兩題可留作考試后的研究題.
13A．如圖所示，⊙O的直徑的長(zhǎng)是關(guān)于x的二次方程 （k是整數(shù)）的最大整數(shù)根. P是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點(diǎn)，點(diǎn)B，C是直線PBC與⊙O的交點(diǎn).若PA，PB，PC的長(zhǎng)都是正整數(shù)，且PB的長(zhǎng)不是合數(shù)，求 的值.
解：
14A．沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d滿足不等式 >0，那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作.
（1）若圓周上依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d，都有 ≤0？請(qǐng)說明理由.
（2）若圓周上從小到大按順時(shí)針方向依次放著2003個(gè)正整數(shù)1，2，…，2003，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d，都有 ≤0？請(qǐng)說明理由.
解：（1）
（2）
2003年“TRULY?信利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（每小題6分，滿分30分）
1．D
由 解得 代入即得.
2．D
因?yàn)?0×3<72.5<20×4，所以根據(jù)題意，可知需付郵費(fèi)0.8×4=3.2（元）.
3．C
如圖所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，
而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
4．D
顯然AB是四條線段中最長(zhǎng)的，故AB=9或AB=x.
（1）若AB=9，當(dāng)CD=x時(shí)， ， ；
當(dāng)CD=5時(shí)， ， ；
當(dāng)CD=1時(shí)， ， .
（2）若AB=x，當(dāng)CD=9時(shí)， ， ；
當(dāng)CD=5時(shí)， ， ；
當(dāng)CD=1時(shí)， ， .
故x可取值的個(gè)數(shù)為6個(gè).
5．B
設(shè)最后一排有k個(gè)人，共有n排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由題意可知 ，即 .
因?yàn)閗，n都是正整數(shù)，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n與2k+（n－1）的奇偶性不同. 將200分解質(zhì)因數(shù)，可知n=5或n=8. 當(dāng)n=5時(shí)，k=18；當(dāng)n=8時(shí)，k=9. 共有兩種不同方案.
6． .
＝ .
7．1.
因?yàn)?，
所以 ，解得 .
從而 ， .
于是 .
8．161.
根據(jù)圖中①、②、③的規(guī)律，可知圖④中三角形的個(gè)數(shù)為
1+4+3×4+ + =1+4+12+36+108=161（個(gè)）.
9． .
如圖，延長(zhǎng)AD交地面于E，過D作DF⊥CE于F.
因?yàn)椤螪CF=45°，∠A=60°，CD=4m，
所以CF=DF= m， EF=DFtan60°= （m）.
因?yàn)?，所以 （m）.
10.－4.
由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（－1，4），點(diǎn)B（2，1），所以
解得
因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以 ，
，即 ，由于a是正整數(shù)，故 ，
所以 ≥2. 又因?yàn)閎+c=－3a+2≤－4，且當(dāng)a=2，b=－3，c=－1時(shí)，滿足題意，故b+c的最大值為－4.
三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）
11．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AC，與DE交于點(diǎn)P. 問EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論.
解：DP=PE. 證明如下：
因?yàn)锳B是⊙O的直徑，BC是切線，
所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽R(shí)t△ABC，得 ① ……（6分）
又AD‖OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽R(shí)t△OBC.
故 ② ……（12分）
由①，②得 ED=2EP.
所以 DP=PE. ……（15分）
12．某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過的城市以及
通過兩城市之間所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）如圖所示. 若汽車行駛
的平均速度為80千米/小時(shí)，而汽車每行駛1千米需要的平均費(fèi)用
為1.2元. 試指出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線（要有推理過
程），并求出所需費(fèi)用最少為多少元？
解：從A城出發(fā)到達(dá)B城的路線分成如下兩類：
（1）從A城出發(fā)到達(dá)B城，經(jīng)過O城. 因?yàn)閺腁城到O
城所需最短時(shí)間為26小時(shí)，從O城到B城所需最短時(shí)間
為22小時(shí). 所以，此類路線所需 最短時(shí)間為26+22=48（小時(shí)）. ……（5分）
（2）從A城出發(fā)到達(dá)B城，不經(jīng)過O城. 這時(shí)從A城到達(dá)B城，必定經(jīng)過C，D，E城或F，G，H城，所需時(shí)間至少為49小時(shí). ……（10分）
綜上，從A城到達(dá)B城所需的最短時(shí)間為48 小時(shí)，所走的路線為：
A→F→O→E→B. ……（12分）
所需的費(fèi)用最少為：
80×48×1.2=4608（元）…（14分）
答：此人從A城到B城最短路線是A→F→O→E→B，所需的費(fèi)用最少為4608元…（15分）
13B．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)部時(shí)，求證： .
（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，第（1）小題中的等式是否存在？請(qǐng)說明理由.
（3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，第（1）小題中的等式是否存在？請(qǐng)說明理由.
解：（1）作DE⊥BC，垂足為E. 由勾股定理得
所以 .
因?yàn)镈E‖AC，所以 .
故 . ……（10分）
（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，第（1）小題中的等式仍然成立。
2010年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題(北師大版七年級(jí))
考試時(shí)間:120分鐘 試卷滿分：100分
一、選擇題(下列各題的備選答案中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填入題后的括號(hào)內(nèi)，每小題3分，共24分)
1. 的負(fù)倒數(shù)是( )
A.|- | B.- C.2D.-2
2.在平面內(nèi)，四條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不能是( )
A.2個(gè) B.3個(gè)C.4個(gè) D.5個(gè)
3.計(jì)算(a2)3的結(jié)果是( )
A.a5 B.a6C.a8D.3a2
4.如圖，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，則∠ACD等于( )
A.100°B.120° C.130°D.150°
5.一組按規(guī)律排列的數(shù)為1，3，5，7，9，…，則第100個(gè)數(shù)是( )
A.51 B.199C.201 D.55
6.在某次國(guó)際乒乓球單打比賽中，甲、乙兩名中國(guó)選手都進(jìn)入最后決賽，那么下列事件為必然事件的棚寬掘是( )
A.冠軍屬于中國(guó)選手B.冠軍屬于外國(guó)選手
C.冠軍屬于中國(guó)選手甲 D.冠軍屬于中國(guó)選手乙
7.如圖，立體圖形是由若干個(gè)相同的小正方體組成，這個(gè)立體圖形有小正方體( )
A.9個(gè) B.10個(gè) C.11個(gè)D.12個(gè)
8.如果△+△=※，○=□+□，△=○+○+○+○，巧塵則※÷□=( )
A.2B.4 C.8D.16
二、填空題(每小題3分，共24分)
9.在數(shù)軸上與表示2.5的點(diǎn)的距離最近的整數(shù)點(diǎn)所表示的數(shù)是____.
10.當(dāng)-3a2n和a4是同類項(xiàng)時(shí)，n=____.
11.手電筒向天空射出的光線可以看做是____.
12.保護(hù)水資源，人人有責(zé)任，我國(guó)是缺水的國(guó)家，目前可利用的淡水資源的總量?jī)H僅899000億米3，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)是____.
13.已知線段AB=7cm，在直線AB上畫線段BC=1cm，那么線段AC=____.
14.當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式ax3+bx+1的值為6，則當(dāng)x=-2時(shí)，代數(shù)式ax3+bx+1的值是____.
15.已知∠4與∠1互補(bǔ)，∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)，∠3=153°，則∠4=____.
16.如果abc≠0，設(shè) ，那么x可能取得的值是____.
三、解答題(12分)
17.結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行歸納，然后判斷下列的鏈核對(duì)錯(cuò)，認(rèn)為正確，說明理由；認(rèn)為不正確，舉出反例.
(1)任何數(shù)都不能等于它的相反數(shù)；
(2)若a比b大，那么a的相反數(shù)一定小于b的相反數(shù).
四、解答題(15分)
18.已知關(guān)于x的方程kx=4-x的解為正整數(shù)，求k所能取的整數(shù)值.
五、解答題(15分)
19.一輛汽車從甲地駛往乙地，若以每小時(shí)60km的速度行駛，則剛好按預(yù)計(jì)時(shí)間到達(dá)，但當(dāng)車行駛了4小時(shí)30分鐘后，遇雨路滑，車不能快開，這樣將速度減少20km，結(jié)果比預(yù)計(jì)時(shí)間晚45分鐘到達(dá)乙地，求甲、乙兩地的距離(要求：設(shè)不同的未知數(shù)，用三種方法加以解答).
六、解答題(10分)
20.一個(gè)長(zhǎng)方形，恰好分成如圖所示的六個(gè)小正方形A、B、C、D、E、F，其中最小的正方形A的面積為1cm2，你能求出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積嗎？
以上就是初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷的全部?jī)?nèi)容，2003年太原市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題 一、選擇題(共5小題,每小題6分,滿分30分. 以下每道小題均給出了英文代號(hào)的四個(gè)結(jié)論,其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的. 請(qǐng)將正確結(jié)論的代號(hào)填入題后的括號(hào)里. 不填、。
