目錄高數(shù)例題大全 高中數(shù)學(xué)題型1000例大題 高中應(yīng)用題數(shù)學(xué) 初中數(shù)學(xué)例題及答案 大學(xué)數(shù)學(xué)題100道
反證法首先假設(shè)某命題不成立(即在原命題的題設(shè)下，結(jié)論不成立)，然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說假設(shè)不成立，原命題得證。下面由我給你帶來關(guān)于高中數(shù)學(xué)反證法例題，希望對你有幫助!
高中數(shù)學(xué)反證法例題一
選擇題
1.否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說法中，正確的是()
A.有一個(gè)解
B.有兩個(gè)解
C.至少有三個(gè)解
D.至少有兩個(gè)解
[答案]C
[解析]在邏輯中“至多有n個(gè)”的否定是“至少有n+1個(gè)”，所以“至多有兩個(gè)解”的否定為“至少有三個(gè)解”，故應(yīng)選C.
2.否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)的正確反設(shè)為()
A.a、b、c都是奇數(shù)
B.a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)
C.a、b、c都是偶數(shù)
D.a、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)
[答案]B
[解析]a，b，c三個(gè)數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數(shù);②有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù);③有一個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù);④三個(gè)偶數(shù).因?yàn)橐穸á冢约僭O(shè)應(yīng)為“全是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”.故應(yīng)選B.
3.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是()
A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°
B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60°
C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°
D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°
[答案]B
[解析]“至少有一個(gè)不大于”的否定是“都大于60°”.故應(yīng)選B.
4.用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)殲殲棗是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()
A.假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)
B.假設(shè)a、b，c都不是偶數(shù)
C.假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)
D.假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)
[答案]B
[解析]“至少有一個(gè)”反設(shè)詞應(yīng)為“沒有一個(gè)”，也就是說本題應(yīng)假設(shè)為a，b，c都不是偶數(shù).
5.命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是()
A.a
B.a≤b
C.a=b
D.a≥b
[答案]B
[解析]“a>b”的否定應(yīng)為“a=b或a
6.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()
A.一定是異面直線
B.一定是相交直線
C.不可能是平行直線改顫
D.不可能是相交直線
[答案]C
[解析]假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線.故應(yīng)選C.
7.設(shè)a，b，c∈(-∞，0)，則三數(shù)a+1b，c+1a，b+1c中()
A.都不大于-2
B.都不小于-2
C.至少有一個(gè)不大于-2
D.至少有一個(gè)不小于-2
[答案]C
[解析]a+1b+c+1a+b+1c
=a+1a+b+1b+c+1c
∵a，b，c∈(-∞，0)，
∴a+1a=--a+-1a≤-2
b+1b=--b+-1b≤-2
c+1c=--c+-1c≤-2
∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6
∴三數(shù)a+1b、c+1a、b+1c中至少有一個(gè)不大于-2，故應(yīng)選C.
8.若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則()
A.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行
B.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直
C.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交氏拆
D.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面
[答案]B
[解析]對于A，若存在直線n，使n∥l且n∥m
則有l(wèi)∥m，與l、m異面矛盾;對于C，過點(diǎn)P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l∥α);對于D，過點(diǎn)P與l、m都異面的直線不唯一.
9.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說：“是乙獲獎(jiǎng)了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎(jiǎng)的歌手是()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
[答案]C
[解析]因?yàn)橹挥幸蝗双@獎(jiǎng)，所以丙、丁只有一個(gè)說對了，同時(shí)甲、乙中只有一人說對了，假設(shè)乙說的對，這樣丙就錯(cuò)了，丁就對了，也就是甲也對了，與甲錯(cuò)矛盾，所以乙說錯(cuò)了，從而知甲、丙對，所以丙為獲獎(jiǎng)歌手.故應(yīng)選C.
10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…)，試證“數(shù)列{xn}或者對任意正整數(shù)n都滿足xnxn+1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)，應(yīng)為()
A.對任意的正整數(shù)n，都有xn=xn+1
B.存在正整數(shù)n，使xn=xn+1
C.存在正整數(shù)n，使xn≥xn+1且xn≤xn-1
D.存在正整數(shù)n，使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0
[答案]D
[解析]命題的結(jié)論是“對任意正整數(shù)n，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”，其反設(shè)是“存在正整數(shù)n，使數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列”.故應(yīng)選D.
高中數(shù)學(xué)反證法例題二
填空題
11.命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是________.
[答案]沒有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形
[解析]“至少有一個(gè)”的否定是“沒有一個(gè)”.
12.用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”，那么反設(shè)的內(nèi)容是________________.
[答案]a，b都不能被5整除
[解析]“至少有一個(gè)”的否定是“都不能”.
13.用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A=∠B=90°不成立;
②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角;
③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A=∠B=90°.
正確順序的序號排列為____________.
[答案]③①②
[解析]由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應(yīng)為③①②.
14.用反證法證明質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)的過程如下：
假設(shè)______________.設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、…、pn，令p=p1p2…pn+1.
顯然，p不含因數(shù)p1、p2、…、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù).這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、…、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設(shè)不成立.于是，質(zhì)數(shù)有無限多個(gè).
[答案]質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)除p1、p2、…、pn之外
[解析]由反證法的步驟可得.
高中數(shù)學(xué)反證法例題三
解答題
15.已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.
求證：a>0，b>0，c>0.
[證明]用反證法：
假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一個(gè)為正數(shù)，
不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由a+b+c>0，
可得c>-(a+b)，
又a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)
ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab
即ab+bc+ca<-a2-ab-b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0，即ab+bc+ca<0，
這與已知ab+bc+ca>0矛盾，所以假設(shè)不成立.
因此a>0，b>0，c>0成立.
16.已知a，b，c∈(0,1).求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同時(shí)大于14.
[證明]證法1：假設(shè)(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正數(shù)，∴1-a、1-b、1-c都是正數(shù).(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12，
同理(1-b)+c2>12，(1-c)+a2>12.
三式相加，得
(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32，
即32>32，矛盾.
所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.
證法2：假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于14，即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，三式相乘得
(1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①
因?yàn)?
同理，0
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤143.②
因?yàn)棰倥c②矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立.
17.已知函數(shù)f(x)是(-∞，+∞)上的增函數(shù)，a，b∈R.
(1)若a+b≥0，求證：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論.
[解析](1)證明：∵a+b≥0，∴a≥-b.
由已知f(x)的單調(diào)性得f(a)≥f(-b).
又a+b≥0?b≥-a?f(b)≥f(-a).
兩式相加即得：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
(2)逆命題：
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?a+b≥0.
下面用反證法證之.
假設(shè)a+b<0，那么：
a+b<0?a<-b?f(a)
?f(a)+f(b)
這與已知矛盾，故只有a+b≥0.逆命題得證.
18.(2010?湖北理，20改編)已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=1423n-1.求證：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.
[解析]假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項(xiàng)br、bs、bt(rbs>br，則只可能有2bs=br+bt成立.
∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.
兩邊同乘3t-121-r，化簡得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，
由于r
故數(shù)列{bn}中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.
軌跡方程就是與幾何軌跡對應(yīng)的代數(shù)描述。符合一定條件的動點(diǎn)所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點(diǎn)的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡。下面是我為大家整理的關(guān)于高中數(shù)學(xué)求軌跡方法及例題，希望對您有所幫助。歡迎大家閱讀參考學(xué)習(xí)!
1高中數(shù)學(xué)求軌跡方法及例題
軌跡，包含兩個(gè)方面的問題：凡在軌跡上的點(diǎn)都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點(diǎn)都不符合。求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法和交軌法等。
2常用方法
在求動點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會出現(xiàn)要求兩動曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這燈問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程(若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程)，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。
如果能夠確定動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。待定系數(shù)法：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法。通過圖形的幾何性質(zhì)判斷動點(diǎn)的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運(yùn)用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質(zhì)定理。
3解題步驟
建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動點(diǎn)M的坐標(biāo);寫出點(diǎn)M的集合;列出方程=0;化簡方程為最簡形式;檢驗(yàn)。
①建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;
②設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y);
③列式——列出動點(diǎn)p所滿足的關(guān)系式;
④代換——依條件的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X，Y的方程式，并化簡;
⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程。
要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件，也就是曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍.由曲線和方程的概念可知，在求曲線方程時(shí)一定要注意它的"完備性"和"純粹性"，即軌跡若是曲線的一部分，應(yīng)對方程答穗注明的取值范圍，或同時(shí)注明亂搜的取值范圍。"軌跡"與"軌跡方程"既有區(qū)別又有聯(lián)系，求"軌跡"時(shí)首先要求出"軌跡方程"，然后再說明方程的軌跡圖形，最后"補(bǔ)漏"和"去掉增多"的點(diǎn)，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性。
4學(xué)習(xí)注意
求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動變化中，發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律，即P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會動中求靜，變中求不變。軌跡方程既可用普通方程表示，又可用參數(shù)方程來表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。
求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解，(即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上)，又要檢驗(yàn)是否丟解。(即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示)，出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補(bǔ)充。檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動中的特殊情形或極端情形。
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我摘抄幾道給你當(dāng)樣例：
例子一：
x=cosa y=sina
u=(cosa+2)/(sina+2)
usina+2u=cosa+2
2u=cosa-usina+2
=根號（1+u^2)sin(a+b)＋2
－根號（1+u^2）<=2u-2<＝根號（1+u^2）
4-根號7<=u<=4＋根號7
2
(x-3)^2+y^2=9
x-3=3cosa
y=3sina
所以
x=3+cosa
y=sina
例子改粗二：
已知直線L的參數(shù)方程為x=2t,y=1+4t(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為Ρ=2√2sinΘ,則直線L與圓C的位置關(guān)系
解答：
直線y=1+2x,即2x-y+1=0
圓Ρ^2=2√2PsinΘ
x2+y2=2√2y
圓心（0，√2) ，半徑√2
圓心到直線的距離為1/√5<半徑，
所以直線與圓相交
例子三：
已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ,直線L的參友殲凳數(shù)方程是x=-3/5t+2,y=4/5t﹙t為參數(shù)﹚設(shè)直線L與X軸的交點(diǎn)是M,N是曲線C上一動點(diǎn)，則│MN的最大值為？│
解答：
將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，
得y=-4/3(x-2),令y=0，得x=2，
輯M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，好旅0），又曲線C為圓，圓C的圓心坐標(biāo)為（0,1），半徑r=1,
則|MC|=根號5
所以|MN|小于等于|MC|+r=根號5+1,
所以最后結(jié)果| MN|的最大值 為（根號5+1）
但愿對你有幫助！！！！！！望采納！！！！！
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 一次函數(shù)
一、定義與定義式：
自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
y=kx+b
則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。
即：y=kx (k為常數(shù)，k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì)：
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b (k為任意不為零的實(shí)數(shù) b取任何實(shí)數(shù))
2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。
滾喚三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：
1.作法與圖形：通過如下3個(gè)步驟
(1)列表;
(2)描點(diǎn);
(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn))
2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。
3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：
當(dāng)k>0時(shí)，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;
當(dāng)k<0時(shí)，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當(dāng)b>0時(shí)，直線必通過一、二象限;
當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)
當(dāng)b<0時(shí)，直線必通過三、四象限。
特別地，當(dāng)b=O時(shí)，直線通過原點(diǎn)O(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，直線只通過一、三象限;當(dāng)k<0時(shí)，直線只通過二、四象限。
四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：
已知點(diǎn)A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
(3)解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：
1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：(不全，希望有人補(bǔ)充)
1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
耐備散二次函數(shù)
I.定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大昌氏.)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x? ，0)和 B(x?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為
P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(shí)(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(shí)(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c，
當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax^2+bx+c=0
此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表：
解析式 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對 稱 軸
y=ax^2 (0，0) x=0
y=a(x-h)^2 (h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a
當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個(gè)單位得到，
當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動|h|個(gè)單位得到.
當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個(gè)單位，再向上移動k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2 +k的圖象;
當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個(gè)單位，再向下移動|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k>0時(shí)，將拋物線向左平行移動|h|個(gè)單位，再向上移動k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動|h|個(gè)單位，再向下移動|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)a<0時(shí)開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a<0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|
當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)△<0.圖象與x軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0;當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x= -b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對對應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).
反比例函數(shù)
形如 y=k/x(k為常數(shù)且k≠0) 的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。
反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：
反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。
由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。
另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標(biāo)軸作垂線，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
如圖，上面給出了k分別為正和負(fù)(2和-2)時(shí)的函數(shù)圖像。
當(dāng)K>0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)
當(dāng)K<0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)
反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標(biāo)軸，無法和坐標(biāo)軸相交。
知識點(diǎn)：
1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為| k |。
2.對于雙曲線y=k/x ，若在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數(shù) (即 y=k/(x±m(xù))m為常數(shù))，就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個(gè)單位。(加一個(gè)數(shù)時(shí)向左平移，減一個(gè)數(shù)時(shí)向右平移)
對數(shù)函數(shù)
對數(shù)函數(shù)的一般形式為 ，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。
右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。
(1)對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。
(2)對數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。
(3)函數(shù)總是通過(1，0)這點(diǎn)。
(4)a大于1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸;a小于1大于0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。
(5)顯然對數(shù)函數(shù)無界。
指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的一般形式為 ，從上面我們對于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個(gè)實(shí)數(shù)集合為定義域，則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。
可以看到：
(1) 指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。
(2) 指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。
(3) 函數(shù)圖形都是下凹的。
(4) a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。
(5) 可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過渡位置。
(6) 函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無限趨向于X軸,永不相交。
(7) 函數(shù)總是通過(0，1)這點(diǎn)。
(8) 顯然指數(shù)函數(shù)無界。
奇偶性
注圖：(1)為奇函數(shù)(2)為偶函數(shù)
1.定義
一般地，對于函數(shù)f(x)
(1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。
(2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。
(3)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。
(4)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。
說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對整個(gè)定義域而言
②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個(gè)函數(shù)一定不是奇(或偶)函數(shù)。
(分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論)
③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義
2.奇偶函數(shù)圖像的特征：
定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對稱圖形。
f(x)為奇函數(shù)《==》f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱
點(diǎn)(x,y)→(-x,-y)
奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。
偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減。
3. 奇偶函數(shù)運(yùn)算
(1) . 兩個(gè)偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).
(2) . 兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).
(3) . 一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).
(4) . 兩個(gè)偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(5) . 兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(6) . 一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).
定義域
(高中函數(shù)定義)設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域;
值域
名稱定義
函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化歸法;(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合)，
(3)函數(shù)單調(diào)性法，
(4)配方法，(5)換元法，(6)反函數(shù)法(逆求法)，(7)判別式法，(8)復(fù)合函數(shù)法，(9)三角代換法，(10)基本不等式法等
關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)
定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個(gè)基本“元件”。平時(shí)數(shù)學(xué)中，實(shí)行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強(qiáng)化定義域問題的同時(shí)，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學(xué)生對函數(shù)的掌握時(shí)好時(shí)壞，事實(shí)上，定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)模^不能厚此薄皮，何況它們二者隨時(shí)處于互相轉(zhuǎn)化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化)。如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時(shí)并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案，從這個(gè)角度來講，求值域的問題有時(shí)比求定義域問題難，實(shí)踐證明，如果加強(qiáng)了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內(nèi)函的理解，從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識。
“范圍”與“值域”相同嗎?
“范圍”與“值域”是我們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個(gè)概念，許多同學(xué)常常將它們混為一談，實(shí)際上這是兩個(gè)不同的概念。“值域”是所有函數(shù)值的集合(即集合中每一個(gè)元素都是這個(gè)函數(shù)的取值)，而“范圍”則只是滿足某個(gè)條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個(gè)條件)。也就是說:“值域”是一個(gè)“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。
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16．充要條件
（1）充分條件：若 ，則 是 充分條件.
（2）必要條件：若 ，則 是 必要條件.
（3）充要條件：若 ，且 ，則 是 充要條件.
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
函數(shù)
17．函數(shù)的單調(diào)性
(1)設(shè) 那么
上是增函數(shù)；
上是減函數(shù).
(2)設(shè)函數(shù) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 ，則 為增函數(shù)；如果 ，則 為減函數(shù).
如果函數(shù) 和 都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù) 也是減函數(shù); 如果函數(shù) 和 在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù) 是增函數(shù).
18．奇偶函數(shù)的圖象特征
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;在對稱區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，歐函數(shù)相反；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，如果一個(gè)奇函數(shù)的定義域包括0，則必有f(0)=0;
(1)若函數(shù) 是偶函數(shù)，則 ；若函數(shù) 是偶函數(shù)，則 .
(2)對于函數(shù) ( ), 恒成立,則函數(shù) 的對稱軸是函數(shù) ;兩個(gè)函數(shù) 與的圖象關(guān)于直線 對稱.
(3)若 ,則函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱; 若 ,則函數(shù) 為周期為 的周期函數(shù).
19．多項(xiàng)式函數(shù) 的奇偶性
多項(xiàng)式函數(shù) 是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.
多項(xiàng)式函數(shù) 是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.
20．函數(shù) 的圖象的對稱性
(1)函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱.
(2)函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱
.
21．兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性
(1)函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 (即 軸)對稱.
(2)函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱.
(3)函數(shù) 和 的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
22．若將函數(shù) 的圖象右移 、上移 個(gè)單位，得到函數(shù) 的圖象譽(yù)告；若將曲線 的圖象右移 、上移 個(gè)單位，得到曲線 的圖象.
23．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系
.
若函數(shù) 存在反函數(shù),則其反函數(shù)為 ,并不是 ,而函數(shù) 是 的反函數(shù).
24．幾個(gè)常見的函數(shù)方程
(1)正比例函數(shù) , .
(2)指數(shù)函數(shù) , .
(3)對數(shù)函數(shù) , .
(4)冪函數(shù) , .
(5)余弦函數(shù) ,正弦函數(shù) ， ，
.
25．幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)
(1) ，則 的周期T=a；
(2) ，或 ，
或,或 ,則 的周期T=2a；
(3) ，則 的周期T=3a；
(4) 且 ，則 的周期T=4a；
(5)
,則 的周期T=5a；
(6) ，則 的周期T=6a.
指數(shù)與對數(shù)
47．實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律
設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么
(1) 結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
48．向量的數(shù)量積的運(yùn)算律
(1) a?b= b?a （交換律）;(2)（ a）?b=（a?b）= a?b= a?（ b）;
(3)（a+b）?c= a ?c +b?c.
49．平面向量基本定理
如果e1、森虛乎e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
50．向量平行的坐標(biāo)表示
設(shè)a= ,b= ，且b 0，則a b(b 0) .
51．a(chǎn)與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)
a?b=|a||b|cosθ．
52．a(chǎn)?b的幾何意義
數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
53．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)設(shè)a= ,b= ，則a+b= .
(2)設(shè)a= ,b= ，則a-b= .
(3)設(shè)A ，B ,則 .
(4)設(shè)a= ，則 a= .
(5)設(shè)a= ,b= ，則a?b= .
54．兩向量的夾角公式
(a= ,b= ).
55．平面兩點(diǎn)間的距離公式
=(A ，B ).
56．向量的平行與垂直
設(shè)a= ,b= ，且b 0，則
A||b b=λa.
a b(a 0) a?b=0 .
57．線段的定比分公式
設(shè) ， ， 是線段 的分點(diǎn), 是實(shí)數(shù)，且 ，則
（ ）.
58．三角形的重心坐標(biāo)公式
△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 、 、 ,則△ABC的重心的坐標(biāo)是 .
59．點(diǎn)的平移公式
.
注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形 上的對應(yīng)點(diǎn)為 ，且 的坐標(biāo)為 .
60．“按此悉向量平移”的幾個(gè)結(jié)論
(1)點(diǎn) 按向量a= 平移后得到點(diǎn) .
(2) 函數(shù) 的圖象 按向量a= 平移后得到圖象 ,則 的函數(shù)解析式為 .
(3) 圖象 按向量a= 平移后得到圖象 ,若 的解析式 ,則 的函數(shù)解析式為 .
(4)曲線 : 按向量a= 平移后得到圖象 ,則 的方程為 .
(5) 向量m= 按向量a= 平移后得到的向量仍然為m= .
61．三角形五“心”向量形式的充要條件
設(shè) 為 所在平面上一點(diǎn)，角 所對邊長分別為 ，則
（1） 為 的外心 .
（2） 為 的重心 .
（3） 為 的垂心 .
（4） 為 的內(nèi)心 .
（5） 為 的 的旁心 .
不等式
62．常用不等式：
（1） (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)．
（2） (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)．
（3）
（4）柯西不等式
（5） .
63．極值定理
已知 都是正數(shù)，則有
（1）若積 是定值 ，則當(dāng) 時(shí)和 有最小值 ；
（2）若和 是定值 ，則當(dāng) 時(shí)積 有最大值 .
推廣 已知 ，則有
（1）若積 是定值,則當(dāng) 最大時(shí), 最大；
當(dāng) 最小時(shí), 最小.
（2）若和 是定值,則當(dāng) 最大時(shí),最小；
當(dāng) 最小時(shí),最大.
64．一元二次不等式，如果 與 同號，則其解集在兩根之外；如果 與 異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.
；
.
65．含有絕對值的不等式
當(dāng)a> 0時(shí)，有
.
或 .
66．無理不等式
（1）.
（2） .
（3） .
67．指數(shù)不等式與對數(shù)不等式
(1)當(dāng) 時(shí),
;
.
(2)當(dāng) 時(shí),
;
直線方程
68．斜率公式
① （ 、 ）.②k=tanα(α為直線傾斜角）
69．直線的五種方程
(1)點(diǎn)斜式 (直線 過點(diǎn) ，且斜率為 )．
(2)斜截式(b為直線 在y軸上的截距).
(3)兩點(diǎn)式( )( 、( )).
(4)截距式 ( 分別為直線的橫、縱截距， )
(5)一般式(其中A、B不同時(shí)為0).
70．兩條直線的平行和垂直
(1)若 ，
① ;
② .
(2)若 , ,且A1、A2、B1、B2都不為零,
① ；
②兩直線垂直的充要條件是；即：
71．夾角公式
(1) .
( ， , )
(2) .
( , , ).
72． 到 的角公式
(1) .
( ， , )
(2) .
( , , ).
直線 時(shí)，直線l1到l2的角是 .
73．四種常用直線系方程
(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn) 的直線系方程為 (除直線 ),其中 是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點(diǎn) 的直線系方程為 ,其中 是待定的系數(shù)．
(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線 , 的交點(diǎn)的直線系方程為 (除 )，其中λ是待定的系數(shù)．
(3)平行直線系方程：直線 中當(dāng)斜率k一定而b變動時(shí)，表示平行直線系方程．與直線 平行的直線系方程是 ( )，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是 ,λ是參變量．
74．點(diǎn)到直線的距離
(點(diǎn) ,直線 ： ).
75． 或 所表示的平面區(qū)域
設(shè)直線 ，若A>0,則在坐標(biāo)平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示， ，若A<0,則在坐標(biāo)平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示， ，可記為“x 為正開口對，X為負(fù)背靠背“。（正負(fù)指X的系數(shù)A，開口對指”<>"，背靠背指"><"）
76． 或 所表示的平面區(qū)域
設(shè)曲線 （ ），則
或 所表示的平面區(qū)域是：
所表示的平面區(qū)域上下兩部分；
所表示的平面區(qū)域上下兩部分.
圓
77．圓的四種方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)圓的一般方程( ＞0).
(3)圓的參數(shù)方程.
(4)圓的直徑式方程(圓的直徑的端點(diǎn)是 、 ).
78．圓系方程
(1)過點(diǎn) , 的圓系方程是
,其中 是直線 的方程,λ是待定的系數(shù)．
(2)過直線 : 與圓 : 的交點(diǎn)的圓系方程是 ,λ是待定的系數(shù)．
(3) 過圓 : 與圓 : 的交點(diǎn)的圓系方程是 ,λ是待定的系數(shù)．
79．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn) 與圓 的位置關(guān)系有三種
若 ，則
點(diǎn) 在圓外;
點(diǎn) 在圓上;
點(diǎn) 在圓內(nèi).
80．直線與圓的位置關(guān)系
直線 與圓 的位置關(guān)系有三種:
;
;
.
其中 .
81．兩圓位置關(guān)系的判定方法
設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;
;
;
;
.
82．圓的切線方程
(1)已知圓 ．
①若已知切點(diǎn) 在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當(dāng) 圓外時(shí),表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．
②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為 ，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設(shè)為 ，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓 ．
①過圓上的 點(diǎn)的切線方程為 ;
②斜率為 的圓的切線方程為 .
橢圓
83．橢圓 的參數(shù)方程是 .
84．橢圓 焦半徑公式
， ,
85．焦點(diǎn)三角形：P為橢圓 上一點(diǎn)，則三角形 的面積S= 特別地，若 此三角形面積為 ；
86．在橢圓 上存在點(diǎn)P，使 的條件是c≥b,即橢圓的離心率e的范圍是 ；
87．橢圓的的內(nèi)外部
(1)點(diǎn) 在橢圓 的內(nèi)部 .
(2)點(diǎn) 在橢圓 的外部 .
88．橢圓的切線方程
(1)橢圓 上一點(diǎn) 處的切線方程是 .
(2)過橢圓 外一點(diǎn) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 .
(3)橢圓 與直線 相切的條件是 .
雙曲線
89．雙曲線 的焦半徑公式
， .
90．雙曲線的內(nèi)外部
(1)點(diǎn) 在雙曲線 的內(nèi)部 .
(2)點(diǎn) 在雙曲線 的外部 .
91．雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系
(1)若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為 .
(3)若雙曲線與 有公共漸近線，可設(shè)為 （ ，焦點(diǎn)在x軸上， ，焦點(diǎn)在y軸上）.
92．雙曲線的切線方程
(1)雙曲線 上一點(diǎn) 處的切線方程是 .
(2)過雙曲線 外一點(diǎn) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是
.
(3雙曲線 與直線 相切的條件是 .
93．到漸近線的距離等于虛半軸的長度（即b值）
拋物線
94．焦點(diǎn)與半徑
95．焦半徑公式
拋物線 ，C為拋物線上一點(diǎn)，焦半徑 .
96．過焦點(diǎn)弦長 .
對焦點(diǎn)在y軸上的拋物線有類似結(jié)論。
97．設(shè)點(diǎn)方法
拋物線 上的動點(diǎn)可設(shè)為P 或P ，其中.
二次函數(shù)
98．的圖象是拋物線：
(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
(2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
(3)準(zhǔn)線方程是 .
99．拋物線的內(nèi)外部
(1)點(diǎn) 在拋物線 的內(nèi)部 .
點(diǎn) 在拋物線 的外部 .
(2)點(diǎn) 在拋物線 的內(nèi)部 .
點(diǎn) 在拋物線 的外部 .
(3)點(diǎn) 在拋物線 的內(nèi)部 .
點(diǎn) 在拋物線 的外部 .
(4) 點(diǎn) 在拋物線 的內(nèi)部 .
點(diǎn) 在拋物線 的外部 .
100．拋物線的切線方程
(1)拋物線 上一點(diǎn) 處的切線方程是 .
(2)過拋物線 外一點(diǎn) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 .
(3)拋物線 與直線 相切的條件是 .
101．過拋物線 （p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于
圓錐曲線共性問題
120．兩個(gè)常見的曲線系方程
(1)過曲線 , 的交點(diǎn)的曲線系方程是
( 為參數(shù)).
(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程 ,其中 .當(dāng) 時(shí),表示橢圓; 當(dāng) 時(shí),表示雙曲線.
103．直線與圓錐曲線相交的弦長公式
或
（弦端點(diǎn)A
由方程消去y得到 ， , 為直線 的傾斜角， 為直線的斜率）.
104．涉及到曲線上的點(diǎn)A，B及線段AB的中點(diǎn)M的關(guān)系時(shí)，可以利用“點(diǎn)差法：
比如在橢圓中：
105．圓錐曲線的兩類對稱問題
（1）曲線 關(guān)于點(diǎn) 成中心對稱的曲線是 .
（2）曲線 關(guān)于直線 成軸對稱的曲線是
.
106．“四線”一方程
對于一般的二次曲線 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，即得方程
，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.
立體幾何
107．證明直線與直線的平行的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；
（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；
（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；
（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；
（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.
108．證明直線與平面的平行的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；
（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；
（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.
109．證明平面與平面平行的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；
（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；
（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.
110．證明直線與直線的垂直的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；
（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；
（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；
（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.
111．證明直線與平面垂直的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；
（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；
（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；
（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；
（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.
112．證明平面與平面的垂直的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；
（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.
113．空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律
(1)加法交換律：a＋b=b＋a．
(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
114．平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣
始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量.
115．共線向量定理
對空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0 )，a‖b 存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．
三點(diǎn)共線.
、 共線且 不共線且 不共線.
116．共面向量定理
向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的 存在實(shí)數(shù)對 ,使 ．
推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的 存在有序?qū)崝?shù)對 ,使 ，
或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對 ，使 .
117．對空間任一點(diǎn) 和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足 （ ），則當(dāng) 時(shí)，對于空間任一點(diǎn) ，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng) 時(shí)，若 平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若 平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面．
四點(diǎn)共面與 、 共面
（ 平面ABC）.
118．空間向量基本定理
如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使 .
119．射影公式
已知向量 =a和軸 ，e是 上與 同方向的單位向量.作A點(diǎn)在 上的射影 ，作B點(diǎn)在 上的射影 ，則
〈a，e〉=a?e
120．向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)a＝ ，b＝ 則
(1)a＋b＝ ；
(2)a－b＝ ；
(3)λa＝(λ∈R)；
(4)a?b＝ ；
121．設(shè)A ，B ，則
=.
122．空間的線線平行或垂直
設(shè) ， ，則
；
.
123．夾角公式
設(shè)a＝ ，b＝ ，則
cos〈a，b〉= .
推論，此即三維柯西不等式.
124．四面體的對棱所成的角
四面體 中,與 所成的角為 ,則
.
125．異面直線所成角
=
（其中 （ ）為異面直線 所成角， 分別表示異面直線 的方向向量）
126．直線 與平面所成角
( 為平面 的法向量).
127．若 所在平面若 與過若 的平面 成的角 ,另兩邊 , 與平面 成的角分別是 、 , 為 的兩個(gè)內(nèi)角，則
.
特別地,當(dāng) 時(shí),有
.
128．若 所在平面若 與過若 的平面 成的角 ,另兩邊 , 與平面 成的角分別是 、 , 為 的兩個(gè)內(nèi)角，則
.
特別地,當(dāng) 時(shí),有
.
129．二面角 的平面角
或 （ ， 為平面 ， 的法向量）.
130．三余弦定理
設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為 ，AB與AC所成的角為 ，AO與AC所成的角為 ．則 .
131．三射線定理
若夾在平面角為 的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是 , ,與二面角的棱所成的角是θ，則有;
(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立).
132．空間兩點(diǎn)間的距離公式
若A ，B ，則
=.
133．點(diǎn) 到直線 距離
(點(diǎn) 在直線 上，直線 的方向向量a= ，向量b= ).
134．異面直線間的距離
( 是兩異面直線，其公垂向量為 ， 分別是 上任一點(diǎn)， 為 間的距離).
135．點(diǎn) 到平面 的距離
（ 為平面 的法向量， 是經(jīng)過面 的一條斜線， ）.
136．異面直線上兩點(diǎn)距離公式
.
.
（ ）.
(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段 的長度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F， , , ).
137．三個(gè)向量和的平方公式
138．長度為 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為 ，夾角分別為 ,則有
.
（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.
139．面積射影定理
.
(平面多邊形及其射影的面積分別是 、 ，它們所在平面所成銳二面角的為 ).
140．斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的側(cè)棱長是 ,側(cè)面積和體積分別是 和 ,它的直截面的周長和面積分別是 和 ,則
① .
② .
141．作截面的依據(jù)
三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.
142．棱錐的平行截面的性質(zhì)
如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．
143．歐拉定理(歐拉公式)
(簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).
（1） =各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為 的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系： ；
（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為 ，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系： .
144．球的半徑是R，則
其體積 ,
其表面積 ．
145．球的組合體
(1)球與長方體的組合體:
長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.
(2)球與正方體的組合體:
正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.
(3) 球與正四面體的組合體:
棱長為 的正四面體的內(nèi)切球的半徑為 ,外接球的半徑為 .
146．柱體、錐體的體積
（ 是柱體的底面積、 是柱體的高）.
（ 是錐體的底面積、 是錐體的高）.
排列組合
147．分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）
.
148．分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）
.
149．排列數(shù)公式
= = .( ， ∈N*，且 )．
注:規(guī)定 .
150．排列恒等式
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
(6).
151．組合數(shù)公式
= = = ( ∈N*， ，且 ).
152．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)
(1) =;
(2)+ = .
注:規(guī)定 .
153．組合恒等式
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) = ;
(5) .
(6) .
(7) .
(8) .
(9) .
(10) .
154．排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系
.
155．單條件排列
以下各條的大前提是從 個(gè)元素中取 個(gè)元素的排列.
（1）“在位”與“不在位”
①某（特）元必在某位有 種；②某（特）元不在某位有 （補(bǔ)集思想） （著眼位置） （著眼元素）種.
（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）
①定位緊貼： 個(gè)元在固定位的排列有 種.
②浮動緊貼： 個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有 種.
注：此類問題常用捆綁法；
③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（ ），把它們合在一起來作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有 種.
（3）兩組元素各相同的插空
個(gè)大球 個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？
當(dāng) 時(shí)，無解；當(dāng) 時(shí)，有 種排法.
（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為 .
156．分配問題
（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的 、 個(gè)物件等分給 個(gè)人，各得 件，其分配方法數(shù)共有 .
（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的 ? 個(gè)物體等分為無記號或無順序的 堆，其分配方法數(shù)共有
.
（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的 個(gè)物體分給 個(gè)人，物件必須被分完，分別得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 這 個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有 .
（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的 個(gè)物體分給 個(gè)人，物件必須被分完，分別得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 這 個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有 .
（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的 個(gè)物體分為任意的 ， ，…， 件無記號的 堆，且 ， ，…， 這 個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有 .
（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的 個(gè)物體分為任意的 ， ，…， 件無記號的 堆，且 ， ，…， 這 個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有 .
（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的 （ ）個(gè)物體分給甲、乙、丙，……等 個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得 件，乙得 件，丙得 件，…時(shí)，則無論 ， ，…， 等 個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有
.
157．“錯(cuò)位問題”及其推廣
貝努利裝錯(cuò)箋問題:信 封信與 個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為
.
推廣:個(gè)元素與 個(gè)位置,其中至少有 個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為
.
158．不定方程 的解的個(gè)數(shù)
(1)方程 （ ）的正整數(shù)解有 個(gè).
(2) 方程 （ ）的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).
(3) 方程 （ ）滿足條件 ( , )的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè).
(4) 方程 （ ）滿足條件 ( , )的正整數(shù)解有 個(gè).
159．二項(xiàng)式定理 ;
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
.
概率
160．等可能性事件的概率
.
161．互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
162． 個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
163．獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率
P(A?B)= P(A)?P(B).
164．n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率
P(A1? A2?…? An)=P(A1)? P(A2)?…? P(An)．
165．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率
期望與方差
166．離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)
（1） ;
（2） .
167．?dāng)?shù)學(xué)期望
168．?dāng)?shù)學(xué)期望的性質(zhì)
(1) .
(2)若 ～ ,則 .
(3)若 服從幾何分布,且 ，則 .
169．方差
170．標(biāo)準(zhǔn)差
= .
171．方差的性質(zhì)
(1) ；
(2)若 ～ ，則 .
(3) 若 服從幾何分布,且 ，則 .
172．方差與期望的關(guān)系
.
173．正態(tài)分布密度函數(shù)
，式中的實(shí)數(shù)μ， （ >0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.
174．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)
.
175．對于 ，取值小于x的概率
.
.
176．回歸直線方程
，其中 .
177．相關(guān)系數(shù)
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.
極限
178．特殊數(shù)列的極限
（1） .
（2） .
（3） （ 無窮等比數(shù)列( )的和）.
179．函數(shù)的極限定理
.
180．函數(shù)的夾逼性定理
如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的附近滿足：
（1） ;
（2） （常數(shù)）,
則 .
本定理對于單側(cè)極限和 的情況仍然成立.
181．幾個(gè)常用極限
（1） ， （ ）；
（2） ， .
182．兩個(gè)重要的極限
（1） ；
（2） (e=2.718281845…).
183．函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則
若 ， ，則
(1) ；
(2) ;
(3) .
184．?dāng)?shù)列極限的四則運(yùn)算法則
若 ，則
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ( c是常數(shù)).
導(dǎo)數(shù)
185． 在 處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商）
.
186．瞬時(shí)速度
.
187．瞬時(shí)加速度
.
188． 在 的導(dǎo)數(shù)
.
189．函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)是曲線 在 處的切線的斜率 ，相應(yīng)的切線方程是 .
190．幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)（C為常數(shù)）.
(2).
(3).
(4).
(5)； .
(6);.
191．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
（1） .
（2） .
（3） .
192．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處有導(dǎo)數(shù) ，函數(shù) 在點(diǎn) 處的對應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù) ，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 處有導(dǎo)數(shù)，且 ，或?qū)懽?.
193．常用的近似計(jì)算公式（當(dāng) 充分小時(shí)）
(1) ; ；
(2) ；；
(3) ；
(4) ；
(5) （ 為弧度）；
(6) （ 為弧度）；
(7) （ 為弧度）
194．判別 是極大（小）值的方法
當(dāng)函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)時(shí)，
（1）如果在 附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則 是極大值；
（2）如果在 附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則 是極小值.
復(fù)數(shù)
195．復(fù)數(shù)的相等
.（ ）
196．復(fù)數(shù) 的模（或絕對值）
= = .
197．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
198．復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律
對于任何 ，有
交換律: .
結(jié)合律: .
分配律:.
199．復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式
（ ， ）.
200．向量的垂直
非零復(fù)數(shù) ， 對應(yīng)的向量分別是 ， ，則
的實(shí)部為零為純虛數(shù)
(λ為非零實(shí)數(shù)).
